L'altezza del suono è proporzionale alla frequenza.

A quali frequenze corrispondono le 12 note di una scala?

Tuttavia, non lo descriviamo esplicitamente.
Forniamo al posto una serie di proprietà che deve rispettare.

Quindi $\exists \, f \in \mathbb{R} \: : \: f \in \mathbb{S} \,$ Esiste una frequenza $f$ appartenente a $\mathbb{S}$. ,
detta frequenza fondamentale.

Da cui segue immediatamente

Teorema
$$ f \in \mathbb{S} \ \Longrightarrow \ 2^kf \in \mathbb{S} \, , \ \forall k \in \mathbb{Z}$$ Se $f$ appartiene a $\mathbb{S}$,
allora $2f, \, 4f, \, 8f, \, ...$ e ${1 \over 2}f, \, {1 \over 4}f, \, {1 \over 8}f, \, ...$
appartengono a $\mathbb{S}$.

Combinando (1.2) $$ f \in \mathbb{S} \ \Longrightarrow \ 2f, \, \cfrac{1}{2}f \in \mathbb{S} $$ e (1.4) $$ f \in \mathbb{S} \ \Longrightarrow \ 3f \in \mathbb{S} $$ otteniamo

Possiamo reiterare (1.5) $$ f \in \mathbb{S} \ \Longrightarrow \ \dfrac{3}{2}f \in \mathbb{S} $$ e ottenere $ \bigg\{ \left( \dfrac{3}{2} \right)^n f \: : \: n \in \mathbb{N} \bigg\} \subset \mathbb{S} \,$. $f, \, {3 \over 2}f, \, \left({3 \over 2}\right)^2f, \, \left({3 \over 2}\right)^3f, \, ...$ appartengono a $\mathbb{S}$.

$\require{extpfeil}\Newextarrow{\xRightarrow}{5,5}{0x21D2}$ \[ f \in \mathbb{S} \ \xRightarrow{1.5} \ \dfrac{3}{2}f \in \mathbb{S} \ \xRightarrow{1.5} \ \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 f \in \mathbb{S} \ \xRightarrow{1.5} \ ... \ \xRightarrow{1.5} \ \left( \dfrac{3}{2} \right)^n f \in \mathbb{S} \]

Immaginiamo ora di avvolgere la retta delle frequenze
intorno a delle circonferenze...

$n := $ numero di note nella scala;

$\log_{\, 2} {3 \over 2}$ è irrazionale!

Se riuscissimo ad approssimarlo con una frazione,
potremmo ricavare $m$ ed $n$.

Tuttavia, troncare un numero dopo un certo numero di cifre decimali
non garantisce che il razionale risultante sia una buona approssimazione.

Cos'è una buona approssimazione per un numero irrazional $x \,$?

Ovvero, $\cfrac{a}{b}$ è più vicino a $x$ di qualunque altro razionale

con denominatore minore (o uguale, ma con numeratore diverso).

Come facciamo a trovare le migliori approssimazioni di un numero?

Se $x \in \mathbb{Q} \,$ $x$ razionale , allora lo sviluppo è finito: $x = [a_0,a_1,...,a_n] \,$.

Se $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \,$ $x$ irrazionale , allora lo sviluppo è infinito: $x = [a_0,a_1,a_2,...] \,$.

Come calcoliamo lo sviluppo in FC di un numero?

$ \pi = 3,1415926535... $

parte intera di $\pi := \lfloor \pi \rfloor = 3$ $\ \Longrightarrow \ \pi = 3 + 0.1415... = 3 + \cfrac{1}{a_1} $

dove $ a_1 = 7.0625... = 7 + {1 \over a_2} $ $ \ \Longrightarrow \ \pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{a_2 + ...}} = [3,7,...]$

$ \Longrightarrow \ \pi = [3,7,15,1,292,...]$

$ \log_2 \cfrac{3}{2} = [0,1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,...] $

$\Longrightarrow \ n = $ 12 note nella scala.

Cosa rappresenta $m$ ?

$ \left( \cfrac{3}{2} \right)^n = \: 2^{\, m} $ $ \ \Longrightarrow \ \cfrac{3}{2} = 2^{\, \frac{m}{n}} $ $ \ \Longrightarrow \ \cfrac{3}{2} \approx 2^{\, \frac{7}{12}} $

Teorema

La quinta vale circa $2^{\, {7 \over 12}} \,$, ovvero
la 7$^{\,A}$ nota nella scala corrisponde circa all'intervallo di quinta.

Serve tuttavia introdurre nuove regole, oltre a (1.2) $$ f \in \mathbb{S}_N \ \Longrightarrow \ 2^kf \in \mathbb{S}_N \, , \ k=\pm 1 $$ e (1.4) $$ f \in \mathbb{S}_N \ \Longrightarrow \ 3f \in \mathbb{S}_N $$ .

$$ f \in \mathbb{S}_N \ \Longrightarrow \ 5f, \, 7f \in \mathbb{S}_N $$

Con queste proprità riusciamo a costruire una scala di 12 note.

L'ottava viene divisa in intervalli uguali di valore $2^{\, \frac{1}{12}} \,$

La scala musciale cinese è una scala pentatonica,
ovvero è composta da 5 note.

Tuttavia, dopo un certo numero $n$ di passaggi, otteniamo una frequenza $\left(\cfrac{3}{2}\right)^nf$
che assomiglia alla frequenza $2^mf$, costruita applicando la regola (1.2) $$ f \in \mathbb{S} \ \Longrightarrow \ 2f, \, \cfrac{1}{2}f \in \mathbb{S} $$ .

Allora $\cfrac{1}{2^m}\left(\cfrac{3}{2}\right)^nf = \cfrac{3^n}{2^{n+m}}f \approx f \,$.
L'intervallo $\cfrac{3^n}{2^{n+m}}$ si definisce comma pitagorico .

Calcolare il comma pitagorico per il sistema pitagorico e cinese.
Che cosa rappresenta?

A quale frequenza corrisponde la quinta in $\mathbb{S}_E$?

La quinta in $\mathbb{S}_P$ e in $\mathbb{S}_S$ coincidono?
Se no, qual è l'intervallo tra le due frequenze?