Obiettivi $ $

1.1 Polinomi trigonometrici $ $

Diciamo polinomi trigonometrici le funzioni del tipo

$$ p(t) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{2 i \pi n \textstyle \frac {t}{a}} \ , $$

dove $a,t \in \mathbb{R}, \ c_n \in \mathbb{C} $.
$ p(t) $ ha periodo $ a $ e grado minore o uguale a $ N $.

1.2 Spazio $T_n$

Denotiamo con $T_n$ lo spazio vettoriale dei polinomi trigonometrici $p(t)$
di grado minore o uguale a $N$ dotato del prodotto scalare
$$(p,q) = \int_{0}^{a} p(t) \overline{q}(t)dt \ ,$$

Poiché $(e_n,e_m)=0$ se $n \neq m$, e $\Vert e_n \Vert_2 = \sqrt{a}$
i vettori $e_n$ sono indipendenti e la dimensione dello spazio è $2N+1$.

2.1 Lo spazio $L_{p}^{2}(0,a)$

Introduciamo la notazione $$L_{p}^{2}(0,a) = \left\{ f \ : \ \mathbb R \ \rightarrow \ \mathbb C \ : \ f \ \text{ ha periodo $a$ e } \int_{0}^{a}|f(t)|^2dt \lt +\infty \right\}$$

Questo insieme, dotato delle usuali operazioni, è uno spazio vettoriale.

Definiamo il prodotto scalare su questo insieme $$(f,g) = \int_{0}^{a} f(t) \overline{g}(t)dt \ ,$$

2.2 L'idea dell'approssimazione

Dato $N \in \mathbb N$, è possibile trovare dei coefficienti $x_n$ tali che
$$ \Vert \ f - \sum_{n=-N}^{N} x_n e_n \ \Vert _{2} \ \text{ sia minimo?}$$

Ciò corrisponde a trovare l'elemento $f_N$ nel sottospazio $T_n$ di $L_{p}^{2}(0,a)$ che ha la minima
distanza da $f$. Se esiste, lo chiamiamo la migliore approssimazione di $f$ in $T_{n}$.

Occorre quindi valutare la distanza tra $f$ e un arbitrario polinomio trigonometrico in $T_{n}$.

per cui il minimo è ottenuto quando $x_n=c_n$.

2.3.1 Disuguaglianza di Bessel $ $

Dalla (2.1) $$ \Vert f - p \Vert _{2}^{2} = \Vert f \Vert _{2}^{2} + a \sum_{n=-N}^{N} ( | c_n - x_n |^{2} - | c_n |^2 ) $$ , poiché $x_n=c_n$, si ricava

$$ a \sum_{n= - \infty}^{+ \infty} |c_n|^2 + \Vert f - f_N \Vert _2^2 = \Vert f \Vert _2^2 $$

2.2.1 Convergenza dell'approssimazione $ $

Cosa succede a $f_N$ per $N \rightarrow + \infty$ ?

$$ \text{approssimata da: } \ \ \ f_N(t)=\frac{4}{\pi} \left( sin(t) + \frac{1}{3}sin(3t) + \frac{1}{3}sin(5t) + ... \right) $$

$$ \textit{Esempio: } \ \ \ f(t) = \begin{cases} +1, & \text{se $ \ 0 \le t \lt \pi $} \\ -1, & \text{se $ \ \pi \le t \lt 2 \pi $} \end{cases} $$

2.3 Convergenza dell'approssimazione $ $

In conclusione, possiamo scrivere

$$ f(t) = \sum_{n= - \infty}^{+ \infty} c_n e^{2 i \pi n \textstyle \frac {t}{a}} \ .$$

2.3.1 Osservazioni $ $

La formula (2.5) $$ f(t) = \sum_{n= - \infty}^{+ \infty} c_n e^{2 i \pi n \textstyle \frac{t}{a}} $$ è un'equivalenza nella norma di $L_{p}^{2}(0,a)$.
In particolare, non significa che per qualunque valore di $t$,
il valore di $f(t)$ sia uguale alla somma della serie.

Inoltre, il teorema 2.3.1 $$ \int_{0}^{a} |f(t)-f_N(t)|^2 dt \rightarrow 0 \text{ per } N \rightarrow + \infty $$ può essere riformulato dicendo che
la famiglia di funzioni $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}} $ è una base per lo spazio $L_{p}^{2}(0,a)$
$$ \text{e che la serie} \ \ \sum_{n= - \infty}^{+ \infty} c_n e_n \ \ \text{è sommabile a $f$ in questo spazio.} $$

2.4 Uguaglianza di Parseval $ $

L'equazione (2.4) $$ a \sum_{n= - \infty}^{+ \infty} |c_n|^2 + \Vert f - f_N \Vert _2^2 = \Vert f \Vert _2^2 $$ e il teorema 2.3.1 $$ \int_{0}^{a} |f(t)-f_N(t)|^2 dt \rightarrow 0 \text{ per } N \rightarrow + \infty $$ implicano

3.1 Estensione a $L^1_p(0,a)$

Dalla caratterizzazione dell'integrale di Lebesgue $$f \text{ è Lebesgue-integrabile su } I \ \iff \ \int_{I}|f(t)|dt \lt +\infty$$

3.2 Convergenza dei coefficienti $c_n$

Al momento non sappiamo se la serie $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(f)e^{2\pi in\frac{t}{a}}$ converga
e, in caso di convergenza, non conosciamo il valore del limite.

3.3 Funzioni continue a tratti su $[a,b]$

Diciamo che una funzione $f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{C}$ è continua a tratti su $[a,b]$
se è continua su $[a,b]$ eccetto in un numero finito di punti
e se i limiti destro e sinistro esistono e sono finiti in questi punti.

3.4 Funzioni a variazione limitata su $[a,b]$

Diciamo che una funzione $f$ è a variazione limitata su $[a,b]$

3.5 Convergenza uniforme $ $

Per $f \in L^2_p(0,a)$ avevamo visto che $ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^{2} \lt + \infty $.

(Corollario 2.2.2 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^{2} \lt + \infty $$ )

4.1 Curve di Bézier e polybézier $ $

Definiamo curva di Bézier cubica la curva di parametrizzazione

$$\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0(1-t)^3+3\mathbf{P}_1t(1-t)^2+2\mathbf{P}_2t^2(1-t)+\mathbf{P}_3t^3 \ , \ \ t \in [0,1] \ .$$

4.2 Trasformata discreta di Fourier $ $

Non potendo calcolare i coefficienti di Fourier $$ c_n=\frac{1}{a} \int_{0}^{a}f(t)e^{-2 i \pi n \textstyle \frac {t}{a}}dt $$ con l'integrale,
una loro approssimazione è stata ottenuta con la trasformata discreta di Fourier:

$$c'_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}y_{k}e^{-2\pi in\frac{k}{N}} \ .$$

4.2 Trasformata discreta di Fourier $ $

Implementazione in JavaScript:

						function dft(y) {
							const Y = [];
							const N = y.length;
							for (let n = 0; n < N; n++) {
							  let sum = new Complex(0, 0);
							  for (let k = 0; k < N; k++) {
								const phi = (- TWO_PI * k * n) / N;
								const c = new Complex(cos(phi), sin(phi));
								sum.add(y[k].mult(c));
							  }
							  sum = sum.div(N);
							  let freq = n;
							  let amp = sum.amp();
							  let phase = sum.phase();	  
							  Y[n] = { freq, amp, phase };
							}
							return Y;
						}
				

Bibliografia $ $

Documentazioni $ $